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grafico di una retta |
Equazione della retta
Disegniamo su di un piano un sistema di assi cartesiani ortogonali di ascissa x ed ordinata y; tracciamo una retta r passante per l'origine degli assi il punto O(0,0);
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grafico di una retta |
La retta tracciata è il grafico di una funzione di primo grado; vediamo ora di scrivere l'equazione di questa funzione.
Consideriamo i tre triangoli OAA', OBB', OCC' essi sono tre triangoli simili.
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tre triangoli simili |
Sono simili in quanto hanno in comune l'angolo in O; essendo simili, oltre ad avere uguali anche gli altri due angoli, hanno pure i tre lati, corrispondenti ad ogni angolo, proporzionali. Scegliendo i lati paralleli ai due assi, otteniamo:
Ma, essendo:
AA'= y1
BB'=y2
CC'=y3
.....
ed inoltre:
OA'=x1
OB'=x2
OC'=x3
....
otteniamo:
questo vuol dire che facendo il rapporto tra l'ordinata y e l'ascissa x otteniamo un numero costante, che possiamo indicare con la lettera m, e scrivere:
oppure:
y=mx
Dove con x e y abbiamo indicato le coordinate di un generico punto P(x;y) scelto a piacere. Poiché i punti li abbiamo scelti a piacere sulla retta, possiamo affermare che l'equazione è valida per qualunque punto P(x;y) della retta r.
Possiamo, inoltre, definire la retta come l'insieme di punti che soddisfano l'equazione di primo grado:
y=mx
Il coefficiente m si chiama coefficiente angolare della retta r; m è detto anche pendenza della retta r.
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a indica la pendenza o coefficiente angolare |
Dal valore di m dipende l'angolo a che la retta r forma con il verso positivo dell'asse x.
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grafico di tre rette con m=2; 1; 0,5 |
Se m>0 la retta forma, con il verso positivo dell'asse x, un angolo acuto, che va da 0° fino a 90°. Questo è dovuto al fatto che le due coordinate dei punti che appartengono alla retta sono di segno concorde, cioè o tutti e due positivi, e quindi appartengono al primo quadrante, oppure tutti e due negativi, e quindi appartangono al terzo quadrante.
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se le due coordinate sono negative le rette appartangeono al terzo quadrante |
L'angolo che la retta forma, con il verso positivo dell'asse x, è acuto.
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l'angolo a aumenta all'aumentare di m |
All'aumentare di m da 0 a ¥ l'angolo a aumenta da 0° fino a 90°. Vediamo ora due casi particolari di m, e cioè m=0 ed m=¥ .
1° caso : m=0
Quando m=0 l'angolo a =0°.
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per m=0 l'angolo a =0 |
La retta r è, quindi, orizzontale e passa per l'origine degli assi O(0,0).
Dalla equazione:
y=mx
essendo m=0 otteniamo:
y=0
La equazione y=0 rappresenta una retta parallela all'asse x e che passa per l'origine O(0,0), quindi rappresenta lo stesso asse x.
2° caso : m=¥
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se m=¥ si ha che a=90° |
In particolare se m=¥ si ha che a=90°. Questo è un caso particolare di retta. Dalla equazione:
y=mx
ci ricaviamo la x, facendo la formula inversa, ed otteniamo:
Ponendo m=¥ otteniamo
Nella frazione, essendo il denominatore un numero molto grande, precisamente ¥ , possiamo ritenere che il valore della frazione stessa sia molto piccolo, quindi nullo, e porre x=0. La equazione x=0 rappresenta una retta parallela all'asse y e che passa per l'origine O(0,0), quindi rappresenta lo stesso asse y.
Coordinate di segno discorde
Se le due coordinate x ed y sono di segno discorde, cioè l'una positiva e l'altra negativa, il valore di m sarà negativo, quindi:
m<0
Questo vuol dire che le rette si trovano o nel secondo quadrante, con x negative ed y positive, oppure nel quarto quadrante, con x positive e y negative.
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grafico di tre rette con m=-2; -1; -0,5 |
L'angolo che la retta forma con il verso positivo dell'asse x è ottuso.
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