Indice di modulazione  e potenza nella modulazione di ampiezza

Nella modulazione di ampiezza occorre considerare le ampiezze sia della modulante che della portante. Di solito l'ampiezza della modulante è circa il 40% dell'ampiezza della portante; è necessario, però, calcolare questa percentuale in modo da non causare distorsioni nel segnale modulato.

Indice di modulazione di ampiezza

Un generico segnale della modulante v_m avente ampiezza o valore massimo V_m  e frequenza f_m:

essendo in generale la pulsazione w=2pf, lo possiamo considerare sinusoidale e quindi esprimerlo con una equazione del tipo:

v_m=V_m cosw_mt

Una generica portante  v_p avente ampiezza o valore massimo V_p  e frequenza f_p:

la possiamo considerare sinusoidale e quindi esprimerla con una equazione del tipo:

v_p=V_p cosw_pt

Sappiamo che la frequenza della portante f_p è maggiore della frequenza della modulante f_p, quindi anche

w_p>w_p

Poniamo l'ampiezza della portante V_p maggiore dell'ampiezza della modulante V_m, cioè:

V_p>V_m

schema a blocchi di un modulatore in ampiezza

Un circuito modulatore in ampiezza lo possiamo considerare composto da due stadi: un circuito moltiplicatore per k e un circuito sommatore.

Nel circuito moltiplicatore per k:

inviamo in ingresso la modulante:

v_m=V_m cosw_mt

 e la portante:

v_p=V_p cosw_pt

In uscita otteniamo il prodotto dei due ingressi, cioè:

V_uk = k ^. V_mcosw_mt  ^.  cosw_pt

schema a blocchi di un modulatore in ampiezza

Nel circuito sommatore inviamo l'uscita del moltiplicatore per k:

V_uk = k ^. V_mcosw_mt  ^. cosw_pt

e la portante:

v_p=V_p cosw_pt

In uscita otteniamo la loro somma, cioè:

V_u = k ^. V_mcosw_mt  ^.  cosw_pt  + V_p cosw_pt

Poiché il termine:

 cosw_pt

compare nei due addendi della somma lo mettiamo a fattore comune o in evidenza ed otteniamo:

V_u = ( V_p  + k V_mcosw_mt  ) cosw_pt

Questa è l'equazione della forma d'onda modulata in ampiezza.

Si definisce indice di modulazione m il rapporto tra l'ampiezza della modulante diviso l'ampiezza della portante; poiché possiamo ritenere che la modulante sia stata moltiplicata per k, possiamo dire che l'indice di modulazione m è:

dove k è la costante di moltiplicazione del moltiplicatore, V_m è l'ampiezza della modulante, V_p è l'ampiezza della portante.

L'indice di modulazione m è un numero puro; se l'ampiezza della modulante è uguale a quella della portante, 

m = 1

Di solito si preferisce un indice di modulazione pari a 0,4 ( 40% ) in modo che sia sempre la modulante più piccola della portante.

Alla pagina:

Applet modulazione di ampiezza (Agilent.com)

è possibile simulare come varia la modulazione al variare di m.

Possiamo misurare m in laboratorio con un oscilloscopio:

possiamo vedere il valore massimo dell'onda modulata V_max 

Notiamo che:

V_max = V_p + V_m 

Indichiamo con V_min l'ampiezza minima del segnale modulato:

 V_min = V_p - V_m 

possiamo calcolare l'indice di modulazione m con la seguente formula:

Spettro dell'onda modulata in ampiezza

Riprendiamo l'equazione della forma d'onda di uscita:

V_u = ( V_p  + k V_mcosw_mt  ) cosw_pt

Sviluppiamo i prodotti ed otteniamo:

V_u = V_p cosw_pt  + k V_mcosw_mt ^. cosw_pt

Consideriamo il fattore:

k V_m

e l'indice di modulazione m:

che possiamo scrivere:

m V_p = k V_m

Nella equazione:

V_u = V_p cosw_pt  + k V_mcosw_mt ^. cosw_pt

al posto di k V_m mettiamo m V_p ed otteniamo:

V_u = V_p cosw_pt  + m V_p cosw_mt ^. cosw_pt

Al secondo termine dell'equazione compare il prodotto di due coseni:

 cosw_mt ^. cosw_pt 

in base alla formula di Werner:

cosa ^. cosb = ½ cos(a+b)  + ½ cos(a-b)

lo possiamo trasformare come somma di due coseni; otteniamo:

cosw_mt ^. cosw_pt  = ½ cos(w_p+w_m) t + ½ cos(w_p-w_m) t

La tensione modulata diventa quindi:

V_u = V_p cosw_pt  + ½ m V_pcos(w_p+w_m) t + ½ m V_pcos(w_p-w_m)t

Questa equazione ci dice che l'onda modulata in ampiezza è la somma di tre segnali sinusoidali; la prima sinusoide è:

V_p cosw_pt

essa rappresenta la portante ed ha frequenza:

la seconda sinusoide è:

½ m V_pcos(w_p+w_m) t

rappresenta l'onda laterale superiore ed ha frequenza:

f_p+f_m

la terza sinusoide è:

½ m V_pcos(w_p-w_m) t

rappresenta l'onda laterale inferiore ed ha frequenza:

f_p - f_m

Se l'indice di modulazione m =1 le due onde laterali hanno ampiezza uguale alla metà dell'ampiezza della portante.

 Notiamo che l'informazione non è contenuta nella portante ma in ciascuna delle due onde laterali, per cui la portante può anche essere soppressa per risparmiare potenza nel tramettitore.

Potenza nella modulazione di ampiezza

La formula della potenza in generale è la seguente:

P = V I

dove V è la tensione in valore efficace. 

Poiché V_p è il valore massimo della portante, il valore efficace della tensione della portante è:

mentre la corrente I  in valore efficace è:

dove R è il valore di resistenza del carico, rappresentato dall'antenna; di conseguenza la potenza della portante P_p ha la formula:

che è la potenza della sola portante. 

Vi sono inoltre le due potenze delle onde laterali, quella inferiore e quella superiore; ciascuna onda laterale ha un valore massimo di tensione:

di conseguenza la potenza di ciascuna onda laterale P_L sarà uguale a quella della portante P_p moltiplicata per:

cioè:

La potenza totale P_T è:

Da questa formula vediamo che la potenza delle due onde laterali è molto piccola rispetto a quella della portante.

Esercizi sulla modulazione in ampiezza

Corso di telecomunicazioni

2009

Scuola Elettrica